При вивчені поведінки функції, якщо  або поблизу точок розриву другого роду, часто трапляється так, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Ці прямі називаються асимптотами.

Означення 1. Пряма  називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з односторонніх границь  або  дорівнює  або . Наприклад, пряма  є вертикальною асимптотою графіка функції  тому, що , .

Означення 2. Пряма  називається похилою асимптотою графіка  при  або , якщо  або .

Теорема 1. (Знаходження похилої асимптоти). Для того щоб пряма  була похилою асимптотою графіка функції  при необхідно і достатньо, щоб існувала скінченні границі ,  .

Доведення. Необхідність

Нехай - асимптота при , тобто . Звідки , де - нескінченно мала при .

Тоді .

Знайдемо границю останньої рівності при :

 або .

А з означення похилої асимптоти маємо  або

Достатність. Нехай існують границі вказані в теоремі. А тоді з другої границі маємо , а тому  дійсно є похилою асимптотою графіка функції  при .

Зауваження 1. Горизонтальні асимптоти отримуємо як частинний випадок похилих, коли , а  - скінчене.

Зауваження 2. При знаходженні похилих асимптот потрібно окремо розглядати границі при  та.

Приклад. Знайти похилі асимптоти графіка функції .

Розв’язування. Нехай - похила асимптота.

Шукаємо  та  спочатку при . ;

.

Отже, - правостороння похила асимптота. Нехай тепер  .

Отже, лівосторонніх похилих асимптот немає.