Правило суми й добутку. Упорядковані множини.Розміщення

Принцип суми. Якщо множина A містить п елементів, а множина В - т елементів і А ∩ В = Ø, то множина A U В містить п + т елементів.

Справді, елементи множини А занумеруємо від 1 до п. Серед них немає елементів з множини В, оскільки А ∩ В = 0. Отже, коли ми переходимо до підрахунку елементів, що належать множині В, то починаємо з номера п +1. Далі буде номер п + 2, п + 3 , ..., п + т, оскільки в множині В за умовою т елементів. Цим усі елементи множини A U В буде вичерпано, вони дістануть номери від 1 до п + т.

Правило суми можна сформулювати ще й так: якщо якийсь вибір А можна здійснити п способами, а другий вибір В можна здійснити т способами, то вибір А або В можна здійснити п + т способами.

Принцип суми за індукцією поширюється на к множин.

Принцип добутку. Нехай маємо дві множини:

А={a₁, а₂, ..., a_n}, В={b₁ b₂, ..., b_n}.

Тоді множина всіх можливих пар

С={(а_i, b_i)اi=1, 2, ..., п; j = 1, 2, ..., m} містить п-т елементів

Розіб'ємо множину С на множини

С={(а₁, b₁), (а₁, b₂), …, (а₁, b_m) }

С={(а₂, b₁), (а₂, b₂), …, (а₂, b_m) }

…………………………………

С={(а_n, b₁), (а_n, b₂), …, (а_n, b_m) }

Неважко помітити, що множини С₁, С₂, ..., С_n, попарно не перетинаються і C = C_lUC₂ U … UC_n. Оскільки кожна з підмножин С₁, С₂, ..., С_n, містить т елементів, то за принципом суми число елементів в об'єднанні їх дорівнює п • т.

Правило добутку можна сформулювати ще й так: якщо якийсь вибір А можна здійснити п різними способами, а для кожного з цих способів деякий другий вибір В можна здійснити т способами, то вибір А і В у вказаному порядку можна здійснити п • т способами.

Приклад 1. З міста А у місто Б веде 6 шляхів, а з міста Б у місто В 4 шляхи (рис. 298). Скількома шляхами можна проїхати з містам у місто В1 Вибравши один із шести шляхів з міста А у місто Б, далі можемо вибрати шлях від Б до В чотирма способами. Тому на підставі правила добутку дістанемо 6 • 4 = 24.

Приклад 2. До міста А, Б і В додамо ще одне місто Г і кілька нових шляхів (рис. 299). Скількома маршрутами тепер можна дістатися з міста А у місто В?

Розглянемо два випадки: шлях проходить через місто Б або через місто Г. Для кожного з цих випадків за правилом добутку неважко під-| рахувати кількість маршрутів (для першого - 24, для другого - 6). За правилом суми маємо остаточно: 24 + 6 = 30. Отже, загальна кількість маршрутів 30.

Приклад 3. У крамниці продають 5 склянок, 3 блюдця і 4 ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?

Можливими є три випадки: перший - купують склянку з блюдцем, другий - склянку з ложкою, третій - блюдце і ложку. У кожному з цих випадків за правилом добутку неважко підрахувати кількість можливих варіантів: 15, 20 і 12. За правилом суми маємо остаточно: 15 + 20 + 12 = 47.

Сформулюємо тепер принцип (правило) добутку у загальному вигляді.

Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу дію можна виконати n, способами, другу - п₂ способами,..., k-ту- п_k способами, то всі k дій разом можуть бути виконані n способами, де п = п₂•п₂ • ... • п_k.

 Розміщення

Нехай деяка множина складається з п різних елементів.

Означення. Розміщеннями з п елементів по k називаються підмножини, що мають k елементів, вибраних з даних п елементів і розміщених у певному порядку (k<п).

Розміщення можуть відрізнятися одне від одного або самими елементами, або порядком їх розміщення.

Наприклад, нехай маємо три елементи: 1, 2, 3. Тоді розміщення з трьох елементів по два мають вигляд: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (З, 2). Розміщення (1, 2) і (2, 1) відрізняються лише порядком. Вони утворюють два різних числа 12 та 21. Розміщення (1, 2) і (1, 3) відрізняються самими елементами. Вони утворюють два різних числа 12 і 13.

Кількість розміщень з даних п елементів по k позначають через А^k_n, = k < п.

Доведемо, що А^k_n = n(n-1)(n-2)...(n-(k-1)). (1)

Якщо множина містить п елементів, то при утворенні розміщень по одному елементу таких розміщень буде п (стільки, скільки елементів у множині). Отже, А^k_n = п.

Утворимо тепер розміщення з п елементів по два. Для цього візьмемо п розміщень по одному елементу і до кожного розміщення допишемо кожний з решти п -1 елементів даної множини. Таким чином, А^k_n = n(n-1).

Застосуємо метод математичної індукції. Припустимо, що для А²_n правильною є формула . Розміщення з п елементів по k + і можна розглядати як пару: на першому місці будь-яке розміщення з п елементів по k (їх кількість А^k_n ), на другому - будь-який елемент з решти п - k елементів. За правилом добутку дістанемо А _n ^k +1= А _n ^k (n-k). 

Приклад 1. Скількома способами можна вибрати з 10 кандидатів три особи на три різні посади?

Для розв'язування задачі треба знайти число розміщень з 10 елементів по три. Отже, за формулою (1) маємо

A³₁₀ =10•9•8 = 720.

Приклад 2. Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Загальна кількість трицифрових чисел з різними цифрами є кількістю

розміщень з 5 елементів по три, тобто А³₅ = 5 • 4 • 3 = 60. Проте із загальної кількості чисел треба відкинути числа, що починаються з нуля. Таких чисел стільки, скільки можна утворити розміщень з чотирьох цифр по два без нуля, тобто А²₄ =4•3 = 12. Отже, шукана кількість трицифрових чисел дорівнює 60 - 12 = 48 .