Показникова функція, її властивості та графік
1.Функція;
Залежність змінної y від змінної x називається функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y.
2.Область визначення функції; область значень функції;
Множина значень, яких набуває незалежна змінна х, називається областю визначення функції.
Множина значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х з області визначення функції,
називається областю значень функції.
3.Зростаюча функція, спадна функція.
Функція y=f(x) називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції
(х2>x1) ↔ f(x2)>f(x1)
Функція y=f(x) називається спадною, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції
(х2>x1) ↔ f(x2)<f(x1)
1.Означення показникової функції.
Функція виду y=ax, де а>0, а ≠ 1, називається показниковою з основою а.
3.Вивчення функції y=2x
Розглянемо функцію y=2x –вона показникова з основою 2
Складемо таблицю деяких значень аргументу і відповідних їм значень цієї функції:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 1 8 | 1 4 | 1 2 | 1 | 2 | 4 | 8 |
За отриманою таблицею побудуємо графік функції:
1.Змінна х може приймати будь-яке значення на проміжку
,
тобто D(f)=R;
2.Функція набуває додатних значень при будь-якому значенні змінної х,
тобто E(f)= (0;∞);
3.Функція зростає на всій своїй області визначення;
4.Графік перетинає вісь 0у в точці (0; 1).
5.Вивчення функції y =
Розглянемо функцію y = – вона показникова з основою
.
Складемо таблицю деяких значень аргументу і відповідних їм значень цієї функції:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 8 | 4 | 2 | 1 | 1 2 | 1 4 | 1 8 |
За отриманою таблицею побудуємо графік функції:
1.Змінна х може приймати будь-яке значення на проміжку
, 
тобто D(f)=R;
2.Функція набуває додатних значень при будь-якому значенні змінної х,
тобто E(f)= (0;∞);
3.Функція спадає на всій своїй області визначення;
4.Графік перетинає вісь 0у в точці (0; 1).
Аналогічно можна побудувати графіки функцій y=3x та y=
.
7.Узагальнення поняття показникової функції
Для зручності порівняння побудуємо всі графіки в одній системі координат .
Що ж спільного у побудованих графіків функцій?
1)Областю визначення даних функцій є множина дійсних чисел.
2)Функції додатні при будь-якому значенні змінної х (графіки розміщені вище осі 0х).
3)Всі графіки проходять через точку (0; 1).
Ці властивості спільні для всіх показникових функцій y=ax (а>0, а ≠ 1).
Розглянемо графіки функцій y=2x і y=3x та порівняємо їх властивості.
З малюнка видно, що обидві функції зростаючі, але функція y=3x зростає швидше.
Аналогічно порівнюючи функції y=
і y=
бачимо, що обидві функції спадають,
але функція y= спадає швидше.
Порівняємо тепер функції y=2x та y=. Бачимо, що графіки даних функцій симетричні
відносно осі 0у, отже різниця полягає в основах показникових функцій, а саме:
при а >1 функція 
зростає, при 0 < a < 1 –спадає.
Узагальнимо властивості показникової функції складаючи таблицю
Отже, показникова функція має такі властивості
1.Область визначення показникової функції – множина всіх дійсних чисел.
2.Область значень – множина всіх додатних дійсних чисел.
3.Функція зростає, якщо а >1; спадає, якщо 0 < a < 1
4.Графік перетинає вісь 0у в точці (0;1)
5.Графіком функції є крива, яка називається експонентою.