Введення

Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку - клас диференціальних рівнянь першого порядку, найбільш легко піддаються рішенню і дослідженню. До нього відносяться рівняння в повних диференціалах, рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні рівняння першого порядку і лінійні рівняння першого порядку. Всі ці рівняння можна проінтегрувати в кінцевому вигляді.

Відправною точкою викладу буде служити диференціальне рівняння першого порядку, записане в т. н. симетричною формою:

де функції і визначені та неперервні в деякій області .

1. Рівняння в повних диференціалах

Якщо в рівнянні (1) ліва частина представляє собою повний диференціал, тобто , То таке рівняння називається рівнянням в повних диференціалах (окремий випадок так званого пфаффова рівняння). Інтегральні криві такого рівняння суть лінії рівнів функції , Тобто визначаються рівнянням при всіляких значеннях довільної сталої .

Якщо в області виконана умова , То загальний розв'язок рівняння (1) визначається з рівняння як неявна функція . Через кожну точку області проходить єдина інтегральна крива рівняння (1).

Якщо розглянута область однозв'язна, а похідні також безперервні в , То для того, щоб (1) було рівнянням в повних диференціалах, необхідно і достатньо виконання умови

(Ознака рівняння в повних диференціалах).

1.1. Інтегруючий множник

Безперервна функція в називається інтегруючим множником рівняння (1), якщо рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто для деякої функції . Число інтегруючих множників даного рівняння нескінченно.

Функція є інтегруючим множником рівняння (1) тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє рівнянню

(Область як і раніше вважаємо односвязного; рівняння (2) є наслідком ознаки рівняння в повних диференціалах).

Рівняння (2) в загальному вигляді вирішується складніше, ніж (1), але для інтегрування (1) досить знати один інтегруючий множник, тобто знайти якесь одне рішення рівняння (2). Зазвичай шукають рішення (2) у вигляді або , Але це не завжди можливо.

1.2. Алгоритм рішення

(1)

(2)

(3)

Візьмемо (3) .1 і проінтегруємо по змінній t:

(*)

Підставимо в (3) .2:

В отриманому рівність доданки, що містять t, знищаться. Отримаємо: . Проінтегруємо по x і підставимо в (*).

2. Рівняння з відокремлюваними змінними

Якщо в рівнянні (1) , То це рівняння з відокремлюваними змінними. Його можна записати в симетричному виді:

• Рішення рівняння з відокремлюваними змінними
  • Рішення рівняння є рішеннями (3).
  • Якщо область обрана так, що , То розділивши на одержимо рівняння з розділеними змінними

Це окремий випадок рівняння в повних диференціалах. Для нього дуже просто отримати рішення в квадратурах. Інтегральна крива рівняння (3), через точку , Має вигляд:

2.1. Приклад диференціального рівняння