Означення похідної функції, її геометричний  і механічний зміст. Похідні основних функцій. 

2. Означення похідної 

 Нехай на проміжку (a ,b )  визначена деяка функція y =f(x) . Візьмемо будь–

яке значення x з цього проміжку і надамо йому приросту Δ x . Різницю 

Δ f = f (x + Δt) - f (t) 

називають приростом функції в точці x. Приріст аргументу Δ x  →  0 може 

набувати як додатних , так і від’ємних значень, але так, що значення x +Δ x не 

виходить за межі області визначення функції f (x) . 

Похідною функції y =f (x) в точці x називають границю (якщо вона існує) 

відношення приросту функції Δ f = f (x + Δt) - f (t)

до приросту аргументу Δ x ,

коли останній прямує до нуля, тобто 

Функцію, яка має скінчену похідну в точці x , називають диференційовною в цій 

точці. Обчислення похідної називають диференціюванням

Позначення похідної: y(x), f(x) ( за Лагранжем)

З означення похідної випливає, що похідна y(x) в точці x є числом. Але якщо 

таке число існує для кожної внутрішньої точки проміжку (a ,b) , то похідну можна 

розглядати як функцію точки x з даного проміжку. 

 

               3. Геометричний, фізичний та механічний зміст похідної 

Дамо геометричне тлумачення похідної. Розглянемо графік функції y= f (x) в 

околі точки Xo Нехай Po– точка кривої з координатами 0 0 (Xo ;f (Xo)) , 

а P – точка графіка з координатами  . Пряму, проведену 

через точки Po і P , називають січною. Якщо при необмеженому наближенні точки 

P за графіком функції y =f (x) до точки Po січна PoP наближається до певного 

граничного положення ( пряма PoK ), то це граничне положення січної називають 

дотичною до кривої y =f (x) в точці Po. Нехай α– кут, який утворює дотична з додатним напрямом осі Ox , а β– кут між січною P Po

і віссюOx . З прямокутного трикутника PoQP випливає, що 

 

                         

Геометричний зміст похідної такий:

похідна функції y= f (x) у точці Xo

дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній 

точці, тобто 

 

де α  – кут, який утворює дотична до графіка функції в точці Xo з додатним напрямом осі Ox .  

 

Нормаллю до кривої називають пряму, що проходить через точку дотику, 

перпендикулярно до дотичної. Рівняння нормалі: 

                             
                
          аргументу x , а похідну f ' ( x ) – миттєву швидкість зміни цієї функції. 

                                                                                      
       Механічний зміст похідної.
Якщо S = S (t ) – закон руху матеріальної точки
( тобто задається залежність пройденого точкою шляху S від часу t ), то похідна
S ' (t ) – це швидкість v точки в момент часу t ; друга похідна S '' (t ) – миттєве
прискорення a точки в момент t , тобто