Геометричний зміст і означення визначеного інтеграла

Геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла

Площа криволінійної трапеції

Нехай на відрізку задана неперервна функція . Фігура, обмежена зверху графіком функції , а знизу — віссю Ох, збоку — прямими і , називається криволінійною трапецією. Знайдемо площу цієї трапеції.



(рис.168)

Для цього відрізок точками , розіб'ємо на частинних відрізків (див. рис. 168). В кожному частинному відрізку візьмемо довільну точку і обчислимо значення функції в ній, тобто .

Помножимо значення функції на довжину відповідного частинного відрізка. Добуток дорівнює площі прямокутника з основою і висотою . Сума всіх таких добутків



дорівнює площі ступінчатої фігури і приблизно дорівнює площі криволінійної трапеції:

, тобто .

Із зменшенням всіх величин точність наближення криволінійної трапеції ступінчатої фігури і точність одержаної формули збільшуються. Тому за точне значення площі криволінійній трапеції приймається границя , до якої прямує площа ступінчатої фігури , коли необмежено зростає так, що :

, тобто .

Отже, визначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно рівний площі криволінійної трапеції.

В цьому і полягає геометричний зміст визначеного інтеграла.
^

Робота змінної сили

Нехай матеріальна точка М переміщається під дією сили , направленої уподовж осі і має змінну величину , де — абсциса рухомої точки М.

Знайдемо роботу сили по переміщенню точки М вздовж осі з точки в точку . Для цього розіб'ємо відрізок точками на частинних відрізків . Сила діюча на відрізку , змінюється від точки до точки. Але якщо довжина відрізка достатньо риса, то сила на цьому відрізку змінюється трохи. Її можна приблизно вважати постійною і рівною значенню функції в довільно обраній точці . Тому робота, виконана цією силою на відрізку , рівна добутку .(Як робота постійної сили на ділянці .)

Наближене значення роботи сили на всьому відрізку є

. (9.2.1)

Ця наближена рівність тим точніша, чим менша довжина . Тому за точне значення роботи приймається границя суми (9.2.1) за умови, що найбільша довжина частинних відрізків прямує до нуля:

.

Отже, робота змінної сили , величина якої є неперервна функція , що діє на відрізку , дорівнює визначеному інтегралу від величини сили, узятому по відрізку .

В цьому полягає фізичний зміст визначеного інтеграла.

Аналогічно можна показати, що шлях , пройдений точкою за проміжок часу від до , дорівнює визначеному інтегралу від швидкості :

;

маса неоднорідного стержня на відрізку дорівнює визначеному інтегралу від густини : .