Якщо на деякій множині R, Яка є підмножиною як М, то й N, має місто рівність

f(x)=g(x),

то говорять, що ці функції тотожно рівні на множині R, а рівність

f(x)=g(x)

при цьому називається тотожністю на множині R.

Часто припадати розглядати функції, про котрі невідомо, якою є множина значень аргументу, на якій смердоті тотожно рівні. У такому випадку рівність

f(x)=g(x)

називають рівнянням. Воно виражає завдання пошуку тихий значень x, при які f(x) й g(x) рівні. Шукані значення x при цьому називають коренями (розв’язками) рівняння. Значення невідомих, котрі належати множині допустимих значень рівняння й задовольняють його (тобто перетворюють рівняння в правильну рівність (тотожність), називаютькоренями рівняння. Областю визначення рівняння (1) будемо називати перетин областей визначення функцій f й g.

Букви, котрі входять в рівняння, за умовою задачі можуть бути нерівноправними: самі можуть приймати усі свої допустимі значення й називаються коефіцієнтами (інколи параметрами) рівняння; інші, значення які потрібно знайти, називаються невідомими (їхні майже завжди позначають останніми літерами латинського алфавіту: x,y,z, чи тими ж літерами, але й із індексами: x₁,x₂,...,x_nчи y₁,y₂,...,y_k ).

У загальному вигляді рівняння із n невідомими x₁,x₂,...,x_n може бути записано у вигляді

f(x₁,x₂,...,x_n)=g(x₁,x₂,...,x_n), (1)

де f(x₁,x₂,...,x_n),g(x₁,x₂,...,x_n) - функції вказаних змінних. У залежності від кількості невідомих рівняння називають рівнянням із одним, двома й понад невідомими.

Рівняння вважається розв’язаним, якщо знайдено усі його корені чи показано, що рівняння коренів немає.

Методи розв’язування рівнянь базуються на понятті рівносильності (еквівалентності).

Якщо усі розв’язки рівняння f(х)=g(x) є розв’язками рівняння j(x)=y(x), то говорять, що рівнянняj(x)=y(x) є наслідком рівняння f(х)=g(x), й записують

f(х)=g(x)Юj(x)=y(x).

Два рівняння f(х)=g(x) й j(x)=y(x) називають еквівалентними, якщо кожне із них являється наслідком іншого, й записують

f(х)=g(x)И j(x)=y(x).

Таким чином два рівняння вважаються еквівалентними, якщо множини розв’язків цих рівнянь співпадають.

Рівняння f(х)=g(x) вважають еквівалентним двом (чи декільком) рівнянням f₁(x)=g₁(x), f₂(x)= g₂(x), якщо множина розв’язків рівняння f(х)=g(x) співпадає із сукупністю множин розв’язків рівнянь f₁(x)=g₁(x), f₂(x)= g₂(x).

Можна сказати, що рівняння рівносильні, якщо кожне із них є наслідком іншого.

Деякі еквівалентні рівняння:

1.Рівняння F+G=G еквівалентне рівнянню F=0, яку розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

2.Рівняння еквівалентне рівнянню F=0, яку розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

3.Рівняння FґG=0 еквівалентне двом рівнянням F=0 й G=0, кожне із які розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

4.Рівняння Fⁿ=0 еквівалентне рівнянню F=0.

5.Рівняння Fⁿ=Gⁿ при непарному n еквівалентне рівнянню F=G, а при парному n еквівалентне двом рівнянням: F=G й F=-G.

Заміна рівняння рівносильним йому рівнянням чи заміна рівняння рівносильною йому сукупністю рівнянь називаєтьсярівносильним переходом.

Наведемо основні теореми про рівносильність рівнянь.

ТеоремаІ. Рівняння

f(х)=g(x) й f(х)+j(x)=g(x)+j(x)

рівносильні, якщо j(x) існує в області визначення вихідного рівняння (1).

З цієї теореми випливає, що доданки можна переносити із однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цого доданку на протилежний.

Теорему ІІ. Якщо обидві частини рівняння

f(х)=g(x) (1)

помножити на вираз j(x), який існує в області визначення рівняння (1), то отримаємо рівняння

f(х)ґj(x)=g(x)ґj(x) ( 2),

яку є наслідком рівняння (1).

Якщо при цьомуj(x)№0, то рівняння (1) й (2) рівносильні.

Теорему ІІІ. Рівняння

fⁿ(х)=gⁿ(x), (*)

де nй2 (натуральне), є наслідком рівняння f(х)=g(x).

Це означати, що будь-який корінь рівняння (1) є коренем й рівняння fⁿ(х)=gⁿ(x), але й рівняння fⁿ(х)=gⁿ(x), може матір ще і інші корені, котрі не задовольняють рівняння (1). Іншими словами, при піднесенні до натурального степеня обох частин рівняння (1) можуть з’явитись зайві корені.

Розрізняють рівняння алгебраїчні й трансцендентні. У алгебраїчних рівняннях над невідомими можуть здійснюватись, причому в скінченій кількості, лише операції додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до раціонального степеня.

Якщо над невідомими здійснюються і інші операції, то рівняння називають трансцендентним.

Прикладами трансцендентних рівнянь є показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, а також рівняння, що містять обернені тригонометричні функції.

У загальному випадку трансцендентні рівняння не можуть бути розв’язанні алгебраїчно, тобто за допомогою послідовного виконання ряду аріфметичних та алгебраїчних дій над данними, котрі належати у склад. Елементарна математика розглядає окремі види трансцендентних рівнянь, допускаючих аналітичне рішення. В частности, перед тим відносяться показникові та логафмичні рівняння.

У процесі розв’язування рівняння за допомогою різних перетворень замінюють простішим, рівносильним йому рівнянням. Якщо це не вдається, то можливі два такі випадки.

1. Під годину переходу до нового рівняння може трапитись втрата коренів.

2. Нове рівняння може містити корені, що не є коренями вихідного рівняння (зайві корені). Зайві корені можна виявити за допомогою перевірки (підстановкою всіх коренів нового рівняння у вихідне).

Нехай f(x) - числова функція однієї чи декількох змінних (аргументів). Вираз, в якому є знаки ">" (<) або "й" (Ј), називають нерівністю.

Розв’язати нерівність

f(x)<0 (f(x)>0) (4)

- це означати знайти усі значення аргументу (аргументів) функції f , при які нерівність (4) справедлива. Множина всіх значень аргументу функції f, при які нерівність (4) справедлива, називаєтьсямножиною розв’язків нерівності чи просторозв’язком нерівності.

Множина розв’язків нестрогої нерівності

f(x)Ј0 (f(x)й0) (5)

представляє собою сукупність множини розв’язків нерівності (4) й множини розв’язків рівняння f(x)=0.

Дві нерівності f₁(x)<0 (1(x)) й f₂(x)<0 (2(x)) називаються еквівалентними, якщо множини їхнього розв’язків співпадають.

При цьому пишуть

f₁(x)<0 (g₁(x)) И f₂(x)<0 (g₂(x)).

Якщо дві нерівності не мають розв’язків, то "за означенням смердоті також вважаються рівносильними.

Під множиною допустимих значень невідомих, котрі входять в нерівність, розуміють область визначення функції f(x).

Рівносильні нерівності можуть матір різні області допустимих значень (наприклад, нерівність x>1 рівносильна нерівності >1, при цьому ми бачимо, що ОДЗ нерівності x>1 є множина всіх дійсних чисел, а ОДЗ нерівності >1 - множина невід’ємних чисел).

З означень рівносильних нерівностей випливає, що замість даної нерівності можна розв’язувати нерівність, рівносильну даній.

Дві нерівності називаютьсярівносильними на множині А, якщо співпадають множини їхні розв’язків на цій множині А.

Дві нерівності можуть бути нерівносильними, але й можуть бути рівносильними на деякій множині. Прикладом можуть бути нерівності x²>1 й x>1, котрі рівносильні на множині додатних чисел, але й не є рівносильними на множині всіх дійсних чисел.

Якщо будь-який розв’язок однієї нерівності є розв’язком другої нерівності, то говорять, що друга нерівність є наслідком першої нерівності, при цьому записують

f₁(x)<0 Ю f₂(x)<0.

Якщо замінити нерівність її наслідком, то множина розв’язків другої нерівності якщо складатись із множини розв’язків вихідної нерівності й ще може матір деякі числа, котрі називаютьзайвими розв’язками вихідної нерівності. Тому якщо под годину розв’язування нерівності переходять до її наслідків, то кінці необхідно провести перевірку.