Site Gide - Похідні обернених тригонометричних функцій

Меню сайту Главная страница Границя й неперервні... Поняття границі функ... Поняття похідної, її... Правила обчислення п... Похідні елементарних... Застосування похідно... Застосування похідно... Загальна схема дослі... Найбільше й найменше... Поняття й основні вл... Доведення основних т... Односторонні границі Неперервні функції Асимптоми графіка фу... Похідні обернених тр... Друга похідна й похі... Застосування похідно... Диференціал функції Показникова й логари... Показникова функція,... Логарифм числа. Влас... Логарифмічна функція... Розв'язування ло... Похідні показникової... Показникові та логар... Елементи комбінатори... Елементи комбінатори... Елементи комбінаторики Правило суми й добут... Перестановки Комбінації Біном Ньютона Поняття про статисти... Поняття про статисти... Поняття випадкової п... Інтеграл та його зас... Первісна та її власт... Визначений інтеграл ... Геометричний зміст і... Обчислення площ і об... Найпростіші диференц... Лічильник	Похідні обернених тригонометричних функцій Зворотні тригонометричні функції (кругові функції, аркфункціі) - математичні функції, які є зворотні до тригометричних функцій. До зворотних тригонометричних функцій зазвичай відносять шість функцій: арксинус (позначення: arcsin) арккосинус (позначення: arccos) арктангенс (позначення: arctg; в іноземній літературі arctan) арккотангенс (позначення: arcctg; в іноземній літературі arccot або arccotan) арксеканс (позначення: arcsec) арккосеканс (позначення: arccosec; в іноземній літературі arccsc) Назва зворотної тригонометричної функції утворюється від назви відповідної їй тригонометричної функції додаванням приставки "арк-" (від лат. arc - Дуга). Це пов'язано з тим, що геометрично значення зворотний тригонометричної функції можна пов'язати з довжиною дуги одиничною кола (або кутом, стягує цю дугу), що відповідає тому чи іншому відрізку. Зрідка в іноземній літературі користуються позначеннями типу sin ^-1 для арксинуса і т. п.; це вважається не зовсім коректним, оскільки можлива плутанина зі зведенням функції в ступінь -1. 1. Основне співвідношення $\ Arcsin x + \ arccos x = \ frac {\ pi} {2}$ $\ Operatorname {arctg} \, x + \ operatorname {arcctg} \, x = \ frac {\ pi} {2}$ 2. Функція arcsin Графік функції y = arcsin x . Арксинус числа m називається таке значення кута x, для якого $\ Sin x = m, \, - \ frac {\ pi} {2} \ leqslant x \ leqslant \ frac {\ pi} {2}, \, \| m \| \ leqslant 1.$ Функція y = sin x безперервна і обмежена на всій своїй числової прямої. Функція y = arcsin x є строго зростаючій. $\ Sin (\ arcsin x) = x \ qquad$ при $-1 \ Leqslant x \ leqslant 1,$ $\ Arcsin (\ sin y) = y \ qquad$ при $- \ Frac {\ pi} {2} \ leqslant y \ leqslant \ frac {\ pi} {2},$ $D (\ arcsin x) = [-1; 1] \ qquad$ (Область визначення), $E (\ arcsin x) = \ left [- \ frac {\ pi} {2}; \ frac {\ pi} {2} \ right] \ qquad$ (Область значень). 2.1. Властивості функції arcsin $\ Arcsin (-x) = - \ arcsin x \ qquad$ (Функція є непарної). $\ Arcsin x> 0 \,$ при $0 <x \ leqslant 1$ . $\ Arcsin x = 0 \,$ при x = 0. $\ Arcsin x <0 \,$ при $-1 \ Leqslant x <0.$ $\ Arcsin x = \ left \ {\ begin {matrix} \ arccos \ sqrt {1-x ^ 2}, \ qquad 0 \ leqslant x \ leqslant 1 \ \ - \ arccos \ sqrt {1-x ^ 2}, \ qquad -1 \ leqslant x \ leqslant 0 \ end {matrix} \ right.$ $\ Arcsin x = \ operatorname {arctg} \ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ 2}}$ $\ Arcsin x = \ left \ {\ begin {matrix} \ operatorname {arcctg} \, \ frac {\ sqrt {1-x ^ 2}} {x}, \ qquad 0 <x \ leqslant 1 \ \ - \ operatorname {arcctg} \, \ frac {\ sqrt {1-x ^ 2}} {x} - \ pi, \ qquad -1 \ leqslant x <0 \ end {matrix} \ right.$ 2.2. Отримання функції arcsin Дана функція y = sin x. На всій своїй області визначення вона є кусочно-монотонною, і, значить, зворотна відповідність y = arcsin x функцією не є. Тому ми розглянемо відрізок, на якому вона строго зростає і приймає всі значення області значень - $\ Left [- \ frac {\ pi} {2}; \ frac {\ pi} {2} \ right]$ . Так як для функції y = sin x на інтервалі $\ Left [- \ frac {\ pi} {2}; \ frac {\ pi} {2} \ right]$ кожному значенню аргументу відповідає єдине значення функції, то на цьому відрізку існує зворотна функця y = arcsin x, графік якої симетричний графіку функції y = sin x на відрізку $\ Left [- \ frac {\ pi} {2}; \ frac {\ pi} {2} \ right]$ щодо прямої y = x. 3. Функція arccos Графік функції y = arccos x . Арккосинус числа m називається таке значення кута x, для якого $\ Cos x = m, \ qquad 0 \ leqslant x \ leqslant \ pi, \| m \| \ leqslant 1.$ Функція y = cos x безперервна і на всій своїй числової прямої. Функція y = arccos x є строго спадною. cos (arccos x) = x при $-1 \ Leqslant x \ leqslant 1,$ arccos (cos y) = y при $0 \ leqslant y \ leqslant \ pi.$ D (arccos x) = [- 1; 1], (Область визначення), E (arccos x) = [0; π]. (Область значень). 3.1. Властивості функції arccos $\ Arccos (-x) = \ pi - \ arccos x \,$ (Функція центрально-симетрична відносно точки $\ Left (0; \ frac {\ pi} {2} \ right).$ $\ Arccos x> 0 \,$ при $-1 \ Leqslant x <1.$ $\ Arccos x = 0 \,$ при $x = 1. \,$ $\ Arccos x = \ left \ {\ begin {matrix} \ arcsin \ sqrt {1-x ^ 2}, \ qquad 0 \ leqslant x \ leqslant 1 \ \ \ pi-\ arcsin \ sqrt {1-x ^ 2} , \ qquad -1 \ leqslant x \ leqslant 0 \ end {matrix} \ right.$ $\ Arccos x = \ left \ {\ begin {matrix} \ operatorname {arctg} \, \ frac {\ sqrt {1-x ^ 2}} {x}, \ qquad 0 <x \ leqslant 1 \ \ \ pi + \ operatorname {arctg} \, \ frac {\ sqrt {1-x ^ 2}} {x}, \ qquad -1 \ leqslant x <0 \ end {matrix} \ right.$ $\ Arccos x = 2 \ arcsin \ sqrt \ frac {1-x} {2}$ $\ Arccos x = 2 \ arccos \ sqrt \ frac {1 + x} {2}$ $\ Arccos x = 2 \ operatorname {arctg} \ sqrt \ frac {1-x} {1 + x}$ 3.2. Отримання функції arccos Дана функція y = cos x. На всій своїй області визначення вона є кусочно-монотонної, і, значить, зворотне відповідність y = arccos x функцією не є. Тому ми розглянемо відрізок, на якому вона строго убуває і приймає всі свої значення - [0; π]. На цьому відрізку y = cos x строго монотонно убуває і приймає всі свої значення тільки один раз, а значить, на відрізку [0; π] існує зворотна функція y = arccos x, графік якої симетричний графіком y = cos x на відрізку [0; π] щодо прямої y = x. 4. Функція arctg Графік функції $y = \ operatorname {arctg} \, x$ . Арктангенс числа m називається таке значення кута α , Для якого $\ Operatorname {tg} \, \ alpha = m, \ qquad - \ frac {\ pi} {2} <\ alpha <\ frac {\ pi} {2}.$ Функція $y = \ operatorname {arctg} x$ безперервна і обмежена на всій своїй числової прямої. Функція $y = \ operatorname {arctg} x$ є строго зростаючій. $\ Operatorname {tg} \, (\ operatorname {arctg} \, x) = x$ при $x \ in \ mathbb R,$ $\ Operatorname {arctg} \, (\ operatorname {tg} \, y) = y$ при $- \ Frac {\ pi} {2} <y <\ frac {\ pi} {2},$ $D (\ operatorname {arctg} \, x) = (- \ infty; \ infty),$ $E (\ operatorname {arctg} \, x) = \ left (- \ frac {\ pi} {2}; \ frac {\ pi} {2} \ right)$ 4.1. Властивості функції arctg $\ Operatorname {arctg} x = \ arcsin \ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ 2}}$ $\ Operatorname {arctg} x = \ arccos \ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ 2}}$ 4.2. Отримання функції arctg Дана функція $y = \ operatorname {tg} \, x.$ На всій своїй області визначення вона є кусочно-монотонної, і, значить, зворотне відповідність $y = \ operatorname {arctg} \, x$ функцією не є. Тому розглянемо відрізок, на якому вона строго зростає і приймає всі свої значення тільки один раз - $\ Left (- \ frac {\ pi} {2}; \ frac {\ pi} {2} \ right).$ На цьому відрізку $y = \ operatorname {tg} \, x$ строго монотонно зростає і приймає всі свої значення тільки один раз, отже, на інтервалі $\ Left (- \ frac {\ pi} {2}; \ frac {\ pi} {2} \ right)$ існує зворотна $y = \ operatorname {arctg} \, x$ , Графік якої симетричний графіком $y = \ operatorname {tg} \, x$ на відрізку $\ Left (- \ frac {\ pi} {2}; \ frac {\ pi} {2} \ right)$ щодо прямої y = x. 5. Функція arcctg Графік функції y = arcctg x Арккотангенс числа m називається таке значення кута x, для якого $\ Operatorname {ctg} \, x = m, \ qquad 0 <x <\ pi.$ Функція $y = \ operatorname {arcctg} \, x$ безперервна і обмежена на всій своїй числової прямої. Функція $y = \ operatorname {arcctg} \, x$ є строго спадною. $\ Operatorname {ctg} \, (\ operatorname {arcctg} \, x) = x$ при $x \ in \ mathbb R,$ $\ Operatorname {arcctg} \, (\ operatorname {ctg} \, y) = y$ при 0 <π, $D (\ operatorname {arcctg} \, x) = (- \ infty; \ infty),$ $E (\ operatorname {arcctg} \, x) = (0; \ pi).$ 5.1. Властивості функції arcctg $\ Operatorname {arcctg} \, (-x) = \ pi - \ operatorname {arcctg} \, x$ (Графік функції центрально-симетричний відносно точки $\ Left (0; \ frac {\ pi} {2} \ right).$ $\ Operatorname {arcctg} \, x> 0$ при будь-яких x. $\ Operatorname {arcctg} \, x = \ left \ {\ begin {matrix} \ arcsin \ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ 2}}, \ qquad x \ geqslant 0 \ \ \ pi-\ arcsin \ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ 2}}, \ qquad x \ leqslant 0 \ end {matrix} \ right.$ 5.2. Отримання функції arcctg Дана функція $y = \ operatorname {ctg} \, x$ . На всій своїй області визначення вона є кусочно-монотонної, і, значить, зворотне відповідність $y = \ operatorname {arcctg} \, x$ функцією не є. Тому розглянемо відрізок, на якому вона строго убуває і приймає всі свої значення тільки один раз - (0; π) . На цьому відрізку $y = \ operatorname {ctg} \, x$ строго убуває і приймає всі свої значення тільки один раз, отже, на інтервалі (0; π) існує зворотна функція $y = \ operatorname {arcctg} \, x$ , Графік якої симетричний графіком $y = \ operatorname {ctg} \, x$ на відрізку (0; π) щодо прямої y = x. Графік симетричний до арктангенс 6. Функція arcsec $\ Mathop {\ operatorname {arcsec}} \, (x) \, = \ operatorname {arccos} \ left (\ frac {1} {x} \ right) \,$ 7. Функція arccosec $\ Mathop {\ operatorname {arccosec}} \, (x) \, = \ operatorname {arcsin} \ left (\ frac {1} {x} \ right) \,$ 8. Похідні від обернених тригонометричних функцій $(\ Arcsin x) '= \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}.$ $(\ Arccos x) '= \ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}.$ $(\ Operatorname {arctg} \, x) '= \ frac {1} {\ 1 + x ^ 2}.$ $(\ Operatorname {arcctg} \, x) '= - \ frac {1} {\ 1 + x ^ 2}.$	Форма входу Пошук Друзі сайту Официальный блог Сообщество uCoz FAQ по системе Инструкции для uCoz

Copyright MyCorp © 2025
Бесплатный хостинг uCoz