Первісна та її властивості

Первісна та її властивості

Диференціювання функції f(x) – операція знаходження її похідної .	Наприклад. Знайти похідну функції: а) ; б) . Розв’язання а); б) .
Знаходження функції f(x) за даною її похідною називається операцією інтегрування. Операція інтегрування обернена до операції диференціювання.	Наприклад. а) Якщо , то , оскільки . б) Якщо , то , оскільки .
Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого х з цього проміжку .	Наприклад. Функція - первісна для функції на проміжку , оскільки при .

Основна властивість первісних Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на даному проміжку, а С – довільна стала, то функція F(x)+С також є первісною для функції f(x), при цьому будь-яка первісна для f(x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F(x)+С, де С– довільна стала. Вираз F(x)+С - загальний вигляд первісної для функції f(x).	Наприклад. Якщо - первісна для функції на проміжку , то первісною для функції на проміжку є функція , де С – довільна стала, оскільки .
Геометричний зміст основної властивості первісних Графіки всіх первісних для даної функції f(x) одержується з будь-якого з них шляхом паралельного перенесення вздовж осі Оу.
Сукупність усіх первісних даної функції f(x) називається невизначеним інтегралом. Позначається: ; тобто , де F(x) – одна з первісних для функції f(x), С – довільна стала. - знак інтеграла, f(x) –підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз.	Наприклад. а) , оскільки - первісна функції б) , оскільки - первісна для функції .

Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

Функція f(x)	Загальний вигляд первісних F(x)+С, де С - стала	Запис за допомогою невизначеного інтеграла
0	С
1	х+С

Правила знаходження первісних (правила інтегрування)

1. Якщо F - первісна функції , а G –                      первісна функції , то F+ G –  первісна функції .                                              Наприклад. Знайти первісну для функції: а) ; б) . Розв’язання а) б) .
Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів  від доданків, тобто Наприклад. Обчислити: а) ; б) . Розв’язання а) ; б)
2. Якщо F - первісна функції , а k і b –  сталі, то kF – первісна для функції . Наприклад. Знайти первісну для функції: а) ; б) Розв’язання а) ; б)
Сталий множник виноситься за знак інтеграла, тобто , де k – стала. Наприклад. Обчислити: а) ; б) . Розв’язання а) ; б) . 3. Якщо F - первісна функції  , а k і b – сталі , то -  первісна для функції . . Наприклад. Знайти первісну для функції: а) ; б) . Розв’язання а) ; ;